Martin Saar: ebatäpsustest põhikooli matemaatika lõpueksamil

Õpetaja Martin Saar Foto: Erakogu

«Mind hämmastas põhikooli matemaatikaeksami puhul see, kui lohakalt käib selle eksami koostaja ümber andmete täpsusega (ehk tüvenumbritega),» kirjutab keemiaõpetaja Martin Saar värskes Õpetajate Lehes.

Eksamiülesandest number 5 saab õpilane teada, et kinos käidi 2012. aastal ligi 2,5 miljonit korda, kusjuures kinopileti keskmine hind oli 4,1 eurot. Selge, et 2,5 miljonit on ligikaudne hinnang ning see võib tähendada nii 2,45 kui ka 2,54 miljonit külastust. Hindamisjuhendist selgus aga, et komisjoni arvates võib arvude löömisel kalkulaatorisse saadud vastuse esitada kui ainuõige ehk 2,5·106·4,1 = 10 250 000. Paraku on mõlemad lähteandmed antud kahe tüvenumbri täpsusega ja seega tuleks ka vastus anda kujul 10 000 000 eurot ehk 10 miljonit eurot, mitte suisa nelja tüvenumbri täpsusega (kriips nulli all märgib seda kui tüvenumbrit). Arvestades lähteandmete ebatäpsust, võib piletimüügist saadud rahasumma olla (hinnanguliselt) vahemikus 9,9–10,6 miljonit eurot. Ainuõige vastusena esitatud 10,25 miljonit on arusaadavalt ülepingutatud täpsusega, Tegelikult on korrektne ka 10 miljonit eurot.

Kui mu õpilased kipuvad andmete täpsusega patustama, siis annan neile sellise ülesande: «Täidame silma järgi 10-liitrise veepange toatemperatuuril oleva veega. Leiame kogumikust vee tiheduse sel temperatuuril ehk 0,9982 g/cm3. Kas meil on alust arvata, et panges on 9,982 kg vett?» Just seda näib komisjon uskuvat! Hea oleks meelde jätta rusikareegel, et vastuse täpsuse määrab kõige ebatäpsem lähteandmetest. Korrutamise ja jagamise puhul on korrektne aluseks võtta, mitu tüvenumbrit andmetes on.

Veel ebatäpsusi

Ülesandes number 7 tehakse sama kübaratrikki karbi külgpindalaga. Suure karbi põhiservad on antud vastavalt ühe tüvenumbri täpsusega 50 cm ja 30 cm. Seejuures eeldatakse, et õpilased arvutavad nende (ja ruumala) kaudu karbi kõrguse ja seejärel külgpindala, kuid suisa kolme tüvenumbri täpsusega … Isegi sellisel juhul, kui lähteandmed oleksid vastavalt kahe tüvenumbri täpsusega (50 cm ja 30 cm), ei saaks anda külgpindala täpsemalt kui 1900 cm2. Kes karpe valmistanud ja küljepikkusi mõõtnud, võib muidugi kinnitada, et millimeetri täpsusega see alati võimalik pole … Seda loetelu võiks jätkata.

Peenraülesandes (number 3) on antud ruudukujulise osa diagonaaliks 4 m. Arvestades ülesande igapäevaelu konteksti, võib see vastata vabalt vahemikule 3,50–4,49 m, mistõttu pole 25-sentimeetriliste vahedega istutatavate taimede arvuks kindlasti mitte ainuõige vastus 17. Selle probleemi oleks saanud vabalt lahendada, esitades diagonaali pikkuseks 4,0 m (või suisa 4,00 m). Ebatäpselt esitatud diagonaalist saab alguse ka terve hulk probleeme kogupindala leidmisega, mida hindamisjuhendi koostajad on lihtsalt ignoreerinud ja seetõttu jõudnud ka kaheldava tulemuseni (armulikult lubades siiski ka 21 m2). Tegelikult tuleb ruudukujulise osa küljeks Pythagorast appi manades 2√2 ehk siis ringikujuliste osade raadiuseks √2. Vastavate ringide pindalaks annab see kenasti (√2)2π ehk 2π ning vastavalt iga poolringi pindalaks 1π. Loomulikult võib pidada seda ühte seal π ees ebavajalikuks, aga meenutame, et see on leitud siiski diagonaali pikkuse kaudu ning seetõttu ei saa seda kuidagi pidada absoluutselt täpseks (ehk võrdväärseks loendamisel saadud tulemustega). Ehk siis pikema jututa tuleb poolringi pindalaks, arvestades lähteandmete täpsust, 3 m2 ja seega peenra pindalaks 20 m2 ning allakirjutanule võib ette heita ühe ruutmeetri taskupistmist. (Paraku ei aita ka nelja poolringi pindala leidmiseks tehtav tehe 4·1·π, sest sellegi vastus tuleks anda ühe tüvenumbri täpsusega ehk 12,6 asemel vaid 10 m2.) Mõista tuleb, et vastus ei saa kuidagi olla täpsem lähteandmetest. Hindamisjuhendis esitatud sulgude ette toodud neli annab aga aimu sellest, et ei eristata loendamisel ja mõõtmisel saadud tulemuste täpsust.

Mida sellest õppida?

Keemiat õpetades kogen ikka, et õpilased soovivad vastuseks kirjutada kõiki kalkulaatori ekraanil olevaid numbreid ning pahandavad, et matemaatikas on nii kenad vastused, kuid keemias tulevad «mingid imelikud». Olen siis soovitanud lähtuda lähteandmete täpsusest ja väga üldise rusikareeglina soovitanud anda vastused kahe-kolme tüvenumbri täpsusega. Kuigi matemaatika on ideaalteadus, eeldab eluliste ja pseudoeluliste ülesannete sissetoomine siiski reaalse kontekstiga arvestamist.

Järgmisel aastal võiks vähemalt hindamisjuhendis viidata sellele, millise täpsusega vastus on korrektne ning millised veel komisjon võiks õigeks lugeda. Muide, keemiaolümpiaadil kaotab õpilane tüvenumbrite ignoreerimisel punkti …