Kristjan Korjus: kas kooli­matemaatika on dogmadesse kinni jäänud?

Kristjan Korjus Foto: Erakogu

Kuuleme sageli, et Eesti õpilased on passiivsed ega ole koolis õnnelikud. Ka suur hulk neid, kes on kooli ammu lõpetanud, teatavad julgelt, et vihkasid koolimatemaatikat või ei saanud ülesannetega kuidagi hakkama. Samas töötavad matemaatikud enamasti põnevate projektidega, mis oleksid ka paljude noorte unistuseks, ning matemaatika on praktiline tööriist kasvõi range argumenteerimiskunstina mistahes valdkonna inimesele.

Matemaatikahariduse võib üldistavalt kokku võtta matemaatika riigieksamiga. Eksam näitab, et meil on probleem: see kontrollib arvutamist, millega saavad juba ammu hakkama arvutid. Nii eksisteerib koolimatemaatika ja matemaatika võimaluste vahel ilmselge lahkheli, mis tekitab küsimuse: mida peaks siis matemaatikaharidusega tegema?

Leidmaks uusi lähenemisi matemaatika õppimiseks ja õpetamiseks, vaatame, kuidas töötavad ühiskonnas matemaatikud ning milles seisneb matemaatika erilisus võrreldes teiste distsipliinidega.

Probleemi üritatakse lahendada ning seda ei olegi võimalik ette teada, millised ettevõtmised osutuvad edukaks. Peaksime katsetama erinevaid lahendusi, hindama nende efektiivsust tõendite alusel ning rakendama neist parimaid.

Matemaatikaharidus ≈ eksam

Matemaatikahariduse neli põhilist komponenti on õppekava, õppematerjalid, õpetajad ning riigieksam, mis on nüüd kohustuslik. Kõige üldisem nendest neljast punktist on riiklik õppekava, mis ise on kohati väga ilus – tsiteerin sealt kaks lauset:

«Matemaatikapädevus hõlmab ka huvi matemaatika vastu, matemaatika sotsiaalse, kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist ning info- ja kommunikatsioonitehnoloogia võimaluste kasutamist.»

«Gümnaasiumi lõpetaja rakendab matemaatilisi meetodeid teistes õppeainetes ja erinevates eluvaldkondades, oskab igapäevaelu probleemi esitada matemaatika keeles ning interpreteerida ja kriitiliselt hinnata matemaatilisi mudeleid igapäevaelu kontekstis.»

Õpilase igapäevane reaalsus on sellest kahjuks erinev: ei õppematerjalid ega eksam vasta sellisele lähenemisele. Eksam ja õppematerjalid on omavahel tugevalt seotud: eksami koostamisel võetakse arvesse õppematerjale ning õppematerjale koostades võetakse arvesse eksamit. Lisaks on nii õpetajatel kui õpilastel suur surve saada häid tulemusi riigieksamil. See kõik teeb eksami väga tähtsaks.

Kokkuvõttes julgen väita, et sellise pikaajalise vastasmõju tulemusena peegeldab matemaatikahariduse olemust väga hästi just riigieksam.

Matemaatika eksami oskab ära lahendada arvuti

Õppekava ilusaimatele kohtadele vastupidiselt üritab eksam meile õpetada arvutamist, kuid sellega on tekkinud probleem: arvutid on juba loomu poolest meist paremad arvutajad ning praeguseks on suhtlus arvutiga läinud nii lihtsaks, et igaüks saab neid enda töö lihtsustamiseks rakendada.

Vaatame eelmise aasta matemaatika eksami kolmandat ülesannet, mis kirjeldab päris hästi eksamit ja seega ka «matemaatika» olemust meie haridussüsteemis.

On antud funktsioon: ƒ(x)=x⁴–9x²

1. Leidke funktsiooni ƒ(x) nullkohad

2. Kas funktsioon ƒ(x) on paaris- või paaritu funktsioon? Põhjendage.

3. Leidke funktsioon ƒ(x) maksimumpunkti koordinaadid

4. Leidke funktsioon ƒ(x) graafiku puutuja tõus kohal x₀=3

Arvutuslik otsingumootor wolframalpha.com oskab kõik need ülesanded järgnevate päringutega ise ära lahendada (olete teretulnud katsetama):

1. «x^4−9x^2=0»

2. «Is x^4−9x^2 even?»

3. «Maximum point of y=x^4−9x^2»

4. «Slope of x^4−9x^2 at x=3»

Wolfram Alpha leiab mõne sekundiga kõik vastused, annab juurde graafikud ja isegi põhjendused! Kas sellest järeldub, et matemaatika õppeainena on iganenud, sest arvuti suudab seda meie eest teha? Kindlasti mitte, arvuti on lihtsalt matemaatikahuvilise igapäevane tööriist nagu kalkulaator või kunagine lükati.

Kui praeguse eksami, mis võtab kokku kogu gümnaasiumimatemaatika, võib sooritada arvuti, siis on meil tekkinud probleem: mis on ikkagi matemaatika juures see, mida võiks õppida, õpetada ja ka eksamil küsida?

Matemaatikuna töötamine

Matemaatikal on kaks väga tähtsat rolli: tema võimsus või efektiivsus maailma kirjeldamisel ning tema romantiline perfektsus argumenteerimisel. Et me oskaksime õpetada matemaatika kui efektiivse tööriista võimsust, võiksime vaadata matemaatiku igapäevatööd.

Matemaatiku töö ettevõtetes on tihti huvitav ja hästi tasustatud, sest ta tegeleb keeruliste probleemidega. Matemaatiku abi on vaja silla või pilvelõhkuja ehitamisel, keeruliste infosüsteemide loomisel, arendustöös nii teaduses kui ettevõtluses, rääkimata pangandusest ja paljudest teistest erialadest.

Matemaatiku töökohustuste alla kuuluvad väga erinevad tegevused: maailma jälgimine ning sealt seoste leidmine; nende seoste tõlkimine matemaatika keelde; arvuti abil arvutamine; saadud tulemuste võrdlemine, kritiseerimine ja valideerimine ning kõikide eelnevate sammude uuesti iteratiivne läbitegemine. Saadud teadmisi tuleb jagada teiste meeskonnaliikmetega ning ka juhtide ja tavakasutajatega, mis tähendab mudelite ja tulemuste lihtsasse keelde tõlkimist.

Ühesõnaga – nagu iga teine töö, on ka matemaatiku töö väga rikkalik ja koosneb mitmest tahust, kuid koolis õpetame me sisuliselt ainult seda tahku, mille iroonilisel kombel jätab isegi matemaatik arvutite teha. Päriselt mõtlevaid matemaatikuid on aga ühiskonnale väga vaja.

Matemaatika on väga eriline

Lisaks matemaatika väga efektiivsetele rakendustele päris maailmas peitub temas veel midagi erilist ja salapärast. Selle mõistmiseks võiks põgusalt kaaluda eri distsipliinide üldisuse astet.

Sotsiaalsed erialad ei ole kuigi üldised: need on ajas ja ruumis muutuvad. Heal juristil on raske olla hea jurist, kui ta liiguks ajas 1000 aastat minevikku või tulevikku või kui ta koliks 5000 km ida poole. Bioloogia ja ka keemia on juba palju laiemad: liikudes tuhandeid aastaid või kilomeetreid eri suundades, jäävad nende erialade teadmised ikkagi relevantseks. Kuid ka nende üldisusel on piir: maavälise elu mõistmiseks jääksid meie praegused teadmised nõrgaks.

Füüsika parandab selle «vea», olles veelgi üldisem. Füüsikud võivad uhkusega eeldada, et nende seadused ja reeglid kehtivad lausa kogu universumis. Peale selle, et füüsikaseadused pannakse kirja matemaatika keeles, tunduvad matemaatikaseadused veelgi üldisemad: algarvud avastataks ka teistsuguste füüsikaseadustega universumi elanike poolt.

Seega eeldab matemaatika palju rangemat abstraheerimise võimet kui ükski teine distsipliin, kuid see pingutus on kahtlemata seda väärt. Kui matemaatikas midagi õigesti ära tõestada, siis jääb see tõestatuks kogu aegruumis ja ka väljaspool seda. Neidsamu matemaatilisi arutelusid ehk tõestusi saabki luua, mõista, võrrelda, kritiseerida ja esitada. Lihtsate asjade tõestamine on õpitav ning tihti öeldud väide, et matemaatika õpetab mõtlema, saaks siis ka sisulisema tähenduse.

Uskumuste asemel tõendipõhisus

Kuidas ikkagi matemaatika mitmekesisust õpilastele edasi anda? See ei ole loomulikult lihtne ja ei peagi olema. Samas tehakse selleks Eestis juba väga palju: arendatakse arvutipõhise statistika õppekava; luuakse interaktiivseid õppematerjale; mitmes koolis katsetatakse julgelt uusi õpimeetodeid jne.

Sellegipoolest oleme olukorras, kus õpetame oma lastele 12 aastat midagi, mille teevad ära arvutid – võib-olla oleme siinkohal dogmadesse kinni jäänud ja peame püüdma neid ületama. Konkreetseid lahendusi, kuidas muutunud ajaga kaasas käia, siin kahjuks ei saagi olla: lähtuda tuleb tõendipõhisest lähenemisest, katsetada meetodeid, neid analüüsida ja teha sellest pidevalt laiemaid järeldusi.

Lähtuda võiks sellest, milline on töö matemaatikuna ning mis võimalusi pakub matemaatika laiema argumenteerimiskunstina – aga ka see võib loomulikult osutuda mitte kõige õigemaks lahenduseks. Üks on selge: me peame oma uskumusi kahtluse alla seadma, soodustama erinevaid lähenemisi ning otsustama nende efektiivsuse üle tõenditele tuginedes.

Kokkuvõte

Vahel öeldakse, et õpilased on kas laisad või rumalad, et nad ei suuda enam matemaatikat õppida. Mulle tundub, et äkki on õpilased hoopiski ajaga paremini kaasas käinud ja tunnetavad intuitiivselt, et tänapäeva ühiskonnas pole enam mõtet matemaatikat senisel kujul õppida. Meie roll on märgata, kui oleme dogmadesse kinni jäänud, ning püüelda nende ületamisel parimate võimaluste poole.

Igasuguseid algatusi on juba väga palju. Neid kõiki võiks üritada mõista ja toetada – parimatest peaksime õppima ning alati oma otsustes lähtuma tõenduspõhisusest. Sellega jõuame üha lähemale sellele, et ka meie gümnaasiumilõpetajad mõistavad, et matemaatika on üks maailma mõistmise ning ratsionaalse mõtlemise aluseid.

Kristjan Korjus on Tartu Ülikooli informaatika doktorant ja informaatika assistent. Lõpetas 2011. aasta kevadel Manchesteri ülikoolis matemaatika magistrantuuri. Ta on õpetanud Manchesteris matemaatikat õpiraskustega lastele ning tegelenud matemaatika populariseerimisega. Lisainformatsioon: korjus.eu