Matemaatikat on vaja, et olla enesekindel kodanik

Cambridge’i ülikooli matemaatikaõppe uuendusprojekti juhib Lynne McClure. Foto: Cambridge'i ülikool

Matemaatikatunnis ei pea laps õppima ainult arvutama, vaid loovalt ja loogiliselt probleeme lahendama, usuvad haridusinnovaatorid. Neist ühega, Cambridge’i Ülikooli matemaatikaõppe uuendusprojekti juhtiva Lynne McClure’iga vestles teadusajakirjanik Arko Olesk.

-Paistab, et kogu haridus, sealhulgas matemaatikaharidus, püüab end uuesti leiutada. Mis seda ajendab?

Maailm liigub edasi. Kooli tulevate laste iPadides ja nutitelefonides on väga arenenud tarkvara. Ja mida me koolides teeme? Oleme vähemalt 50 aastat ajast maas ja siis imestame, miks õpilased ei pea haridust oluliseks. Kes saaks neid süüdistada?

Kus iganes hakatakse õppekava välja töötama, tehakse seda ikka ühtemoodi. Neis pole palju erinevust – inimesed peavad ikka õppima korrutama-jagama jne. Keegi ei alusta õppekavaga tänapäeval nullist, kõik vaatavad, mis on varem tehtud. Aga kui ütleks, et unustame ära, mida kõik teised teevad, ja mõtleme, millist matemaatikaharidust soovime õpilastele 21. sajandil tegelikult pakkuda, pidades silmas, et meil on digirevolutsioon ja tänapäeval teame palju rohkem selle kohta, kuidas lapsed õpivad? Kui kõike seda arvesse võtta, kas soovime neile õpetada samu asju? See on Cambridge’i Ülikooli juures algatatud projekti olemus.

-Mis on eesmärk, millised oskused ja võimed peaksid uutmoodi üles ehitatud kursuse läbinul olema?

Ideaalis tahame, et nad oleks võimelised mõtlema nagu matemaatikud.

-Mida see tähendab?

Nad tunneksid ära mustri, otsiks üldistust detailide asemel. Matemaatikaõppe edendaja Al Cuoco kõneleb matemaatilistest mõtlemisharjumustest. Tema sõnul peaks toetama õpilase püüdlust saada kirjeldajaks, oletajaks, katsetajaks, hüpoteeside püstitajaks, mustrite peilijaks, visualiseerijaks, leiutajaks, disaineriks ja nokitsejaks. See on see, millega päris matemaatikud tegelevad ja millega meie matemaatikatundides harva tegeleme, keskendudes arvutamisele ning lahenduste kopeerimisele ülesannete sarnasuse põhjal. Me püüame õpilasele anda kogemusi, mis toetavad matemaatiku moodi tegutsemist.

Anname endale aru, et inimesed õpivad matemaatikat eri põhjustel. Võime kanda kaardile kogu matemaatika, mida on võimalik õppida vanuses 3–18 ja öelda, et kui kavatsed Tartu Ülikooli puhast matemaatikat õppima minna, siis õpi seda osa, kui sinust saab torumees või juuksur või algklasside õpetaja, siis õpi toda osa.

-Aga inimesed ei tea ju ette, kelleks nad saavad?

Ühisosa on suur. Sa ei pruugi kasutada matemaatikat oma töös millegi olulise jaoks, kuid pead suutma langetada elulisi otsuseid, olla enesekindel ja kompetentne kodanik. Pead ära tundma, kas poliitiku jutt on tõsi, suutma otsustada, millist telefoni valida. Pead teadma, millist matemaatika osa millegi jaoks kasutada.

Kui esimene rada on paigas, siis küsime, millist erialast arendamist vajavad õpetajad, et neid radu õpetada, millist ressurssi vajab õpetaja ja millist õpilane. Viimaks tuleb vastata küsimusele, kuidas õpilasi hinnata. Enamasti kiputakse alustama lõpust, kirjutades õppekava selle järgi, mida soovime, et õpilased oskaksid. Õppekava järgib hindamist, meie soovime, et hindamine järgiks õppekava. Otsustame, milliseid kogemusi peaksid õpilased saama, ja seejärel otsustame, kuidas seda hinnata.

-Tulite Eestisse, kus PISA uuringute järgi on ühed maailma targemad lapsed...

…aga kool ei meeldi neile.

-Täpselt. See tuleneb õpetamisviisidest. Seega tuleb ka muuta kogu haridussüsteemi ülesehitust.

Muidugi. Keskne küsimus on kogemused, mida õpilastele pakkuda ja kuidas seda teha. Teame tänapäeval õppimise kohta sedavõrd rohkem, et peaksime suutma mõjutada õpikute koostamist. Meie õpikud on kohutavad. Need toimivad nii, et õpetaja kirjutab midagi tahvlile ja annab teema harjutamiseks 25 ülesannet.

-Matemaatika oli koolis minu lemmikaine – just seepärast, et mulle meeldis ülesannete, mõistatuste lahendamine. Paned etteantud info õigesse kohta ja saad ilusa tulemuse.

See on hea tunne, kas pole?

-Jah, aga kas see õpetas mulle muud peale ülesannete lahendamise oskuse?

Matemaatikat õpetatakse tõesti väga instrumentaalselt. Suurbritannias on palju riigieksameid, vanuses 7, 11, 16 ja 18. Neist eksamitest sõltub väga palju: koole järjestatakse ja inspekteeritakse nende põhjal, nad peavad aru andma, kuidas kavatsevad tulemusi parandada. Selle tagajärjel saabki riigieksamitest matemaatika õppimise eesmärk. Õpetajad ütlevad, et sooviksid küll õpetada lapsi matemaatikast aru saama, kuid peavad õpetama neid eksamit läbima. Katse läbimine ei pea tähendama, et nad saavad aru.

-Milline võiks õppekavas olla nn puhta ja rakendusmatemaatika vahekord, kui selline eristus üldse on mõttekas?

On neid, kes ütlevad, et kogu õppekava saab läbida probleemipõhise õppena, avastusõppena. Teatud oskused tuleb siiski omandada, sest nendeta oled aeglasem. Kui üheksa-aastane peab liitmiseks kasutama sõrmi, siis hakkab see pärssima tema võimalust mõelda matemaatikuna. Koht puhtale matemaatikale, algoritmilisele tööle on õppekavas olemas, kuid sel peab olema eesmärk.

Matemaatika eesmärk on lahendada probleeme, olgu siis matemaatikas eneses või päris elus. Näiteks geomeetriliste kujundite nurkade leidmine. Kui pole just arhitekt, ei saa öelda, et sellest oskusest oleks tolku. Enamiku jaoks ei ole nurga arvutamine midagi sellist, mida kasutada poeskäimisel või millekski selliseks. Kuid siiski on see loogikapõhine tegevus ja loogiliselt mõtlema õppida on minu arvates väga vajalik.

-Teine valdkond, mille tundmist elus tihti vaja läheb – otsuste tegemisel, küsitlustulemuste hindamisel, terviseväidete hindamisel –, on statistika. Kas seda õpetatakse koolis piisavalt?

On asju, mille tundmine on iga lapse õigus. Usun, et statistiline kirjaoskus on üks neist.

Uues õppekavas on palju enam tähelepanu pööratud andmete kasutamisele päris elus. Näiteks ajaleheartiklit analüüsides mõista selle tegelikku tähendust, kuidas info edastamise kõrval võidakse statistika abil eksitada. Või mõista, mida tähendab arsti antud ravistatistika.

Tõenäosus on teine samasugune teema.

-Milline on arvutustehnika roll uues lähenemises matemaatikale? Võiks ju väita, et meil ei olegi tarvis matemaatikat õppida, sest saame ju kõike küsida Google’ilt või Wolfram Alphalt.

Inimene ei vaja ju ainult infot, vaid ka teadmist, kas seda infot saab usaldada. Tuleb hinnata, kas arvuti antud vastus on mõttekas.

Meie Eestisse tuleku põhjus oli siin katsetatav statistikaõppe projekt. Statistikas aitab arvuti teha asju, mida ilma ei saaks. Kui sul on 20 andmepunkti, saad leida keskmise, mediaani ja moodi ning käsitsi joonestada graafiku. 20 000 andmepunktiga võtaks see liiga kaua. Arvuti võimaldab selle töö ära teha.

Suurte andmehulkadega töötamine on võimalik ainult seetõttu, et meil on arvuti. Arvutamine on väga lihtne, kuid arvuti ei tõlgenda tulemust. Tõlgendama peab inimene. [Tartus katsetatava projekti ideoloog] Conrad Wolfram ütleb, et pead suutma probleemi matematiseerida, siis lased arvutil töö ära teha ja seejärel hindad vastust. See on ahvatlev meetod.

Conradil on teooria, et arvuti abil on võimalik õpetada probleemidele matemaatilisi lahendusi leidma. Näiteks külastasime koolitundi, kus arutati teemal «Kas ma olen keskmine?». Sellele saab vastata ainult konteksti teades.

Meie tegeleme ruumilise geomeetriaga ja üks meie küsimustest on olnud: kuidas leida kaduma läinud lennukit?

Sellest aru saamise hõlbustamiseks on tehtud imelisi 3D-animatsioone, kuid päris palju asju, tundub mulle, õnnestuvad paremini paberi ja pliiatsiga. Ma ei ole ludiit, olen üsna hea tehnilise taibuga, kuid ma pole kindel, kas kõike vajalikku saab õpetada nii, et arvuti teeb kogu raske töö sinu eest ära. Usun, et mitu vahendit on parem.

Meil on vaja arvestatavat hulka inimesi, kes saavad lõpuni aru, mida arvuti teeb. Sellest ei piisa, et arvuti teeb kõik ära, mul pole vajagi aru saada, peaasi, et suudan tulemusi tõlgendada. Me vajame nii matemaatika kasutajaid kui ka tegijaid. Kui kõik kasutavad arvutit niimoodi, siis kes tegeleb tõeliselt keeruka matemaatikaga, mida on tarvis uuteks edusammudeks?

-Olete külastanud uudseid matemaatikaõppeprojekte kogu maailmas. Kuidas reageerivad sellele kõigele lapsed? Kas nad õpivad niimoodi, nagu oleme lootnud?

Statistikaõppe tulemused näitavad, et nad tulevad kaasa, neile meeldib, nad saavad uurida, arutada naabriga. Kuid nad ei pruugi suuta ühe kindla probleemi põhjal üldistusi teha ega taibata, millise matemaatilise oskuse nad äsja omandasid. Probleemist rääkides piirdusid nad alati selle ühe tuttava kontekstiga, nad ei suutnud sealt matemaatikat esile tuua. Kui käsitletaks rohkem probleeme, siis nad võib-olla näeksid probleemide sarnasusi ja hakkaksid tajuma selle taga olevat matemaatikat.

Eksami tulemustest. Katsegrupilt küsiti samasuguseid küsimusi nagu tavaprogrammi läbinud lastelt. Võiks arvata, et katserühmal läks kehvemini. Tegelikult läks neil umbes sama hästi. Nüüd kerkib küsimus, mis mõte on läbida teistsugune õppekava, kui lõpus esitatakse täpselt samasugused kontrollküsimused.

Kui õpid teistmoodi, kas see tähendab, et küsimused peaksid olema teistmoodi? Milliseid võimalusi oluliselt teistmoodi mõelda pakub meile digitaalne maailm? Keegi pole seda seni lahti harutanud, kuid usun, et vastus on oluline.

Projekte matemaatikaõppe uuendamiseks

• Cambridge Mathematics on Cambridge’i ülikooli matemaatikuid ja haridusteadlasi koondav projekt, mille käigus püütakse välja kujundada täiesti uus, kogemusõppel põhinev matemaatika õppekava.
• Wolframi konsortsium töötab välja arvutipõhiseid õppematerjale. Statistika- ning tõenäosusteooria materjale katsetati esimesena Eesti koolides.

Kuidas puutuvad ring, kolmnurk ja ruut lillepeenrasse?

Ülle Kikas, Terje Hõim

Mõne aasta eest oli põhikooli lõpueksamil ülesanne geomeetrilistest kujunditest koosneva lillepeenra kohta. Paljudel jäi see lahendamata. Oli küll õpitud ringi, kolmnurga ja ruudu pindala valemit, aga kuidas puutub see lillepeenrasse?

Noored oskavad koolis hästi lahendada küll tüüpülesandeid, kuid jäävad hätta matemaatika rakendamisega. Igaüks on oma nahal kogenud, et meie traditsiooniline koolimatemaatika on pigem formaalne ja tugineb mälule. Tunnis võetakse ükshaaval läbi teemasid, omandatakse kellegi teise avastatud reeglid, eeskirjad ja põhiseosed, lahendatakse kinnistamiseks arvukalt ülesandeid.

Sellise lähenemisega koolimatemaatika tundub elukauge ega sarnane sugugi sellega, kuidas matemaatikat päriselt tehakse.

2012. aastal alustas haridus- ja teadusministeerium koostöös Tartu Ülikooli ja tarkvara tootva Wolframi konsortsiumiga arvutipõhise statistika arendusprojekti. Eesmärk on viia statistika õpetamine koolides vastavusse tänapäeva võimaluste ja nõudmistega. Statistika on see matemaatikahariduse osa, mille uuendamine on kõige pakilisem, kuid ka kõige lihtsam, sest puuduvad kivistunud traditsioonid.

Just andmete tohutu juurdekasv nõuab statistikaõppe uuendamist. Andmed ise on nagu rikastamata maak, mida tuleb asjatundlikult sõeluda, et neis peituvat mõista ja mõtestada. Tuleb osata targalt kasutada matemaaatika meetodeid ning arvuteid. OECD on ennustanud, et lähema viie aasta jooksul kasvab maailmas hüppeliselt andmete analüüsimisega seotud töökohtade arv.

Kahe aasta jooksul loodi arvutipõhise statistika õppekava ja digitaalsed õppematerjalid ning 40 matemaatikaõpetajat proovisid neid 31 koolis umbes 1800 õpilasega. Tuleb tunnustada õpetajate tublidust, kes võtsid ette õpetada täiesti teisiti.

Matemaatikatund kolis arvutiklassi, kus algas kontekstipõhine probleemi lahendamine. Õppetunde siduvat lugu järgides lahendatakse probleeme, õppides seejuures uusi matemaatika mõisteid ja protseduure. Teemad nagu «Kas matemaatikas on tublimad tüdrukud või poisid?», «Kui õnnelikud on inimesed minu kodumaal?», «Kas peaksin oma sülearvuti kindlustama» toovad matemaatikatundi arutelu ja annavad lastele laiema pildi matemaatika kasutusvõimalustest.

Õpilaste peamine ülesanne on mõtlemine: kuidas probleem matemaatika keelde tõlkida, kas lahendamiseks on andmed olemas või kuidas neid saada, milline matemaatiline tööriist valida, kuidas tõlgendada matemaatilisi tulemusi, kas need on usaldusväärsed, kas mõni asjaolu on jäänud arvestamata. Õppimise lahutamatu osa on arvuti. Arvuti aitab internetist infot otsida, seda visualiseerida ning keerulisi matemaatilisi protseduure läbi teha.

Tartu Ülikooli doktorandi Carita Hommiku uuring näitas, et valdav osa õpetajaid võttis uue õpikäsitluse omaks ja ainult viis neist jätkaks vanaviisi. Õpilaste hinnang oli ülekaalukalt hea, ehkki nendegi seas on nii uuendusmeelseid kui ka traditsionaliste. Näiteks veerandile lastest meeldis väga arvutiga õppimine ja visualiseerimine, aga umbes sama paljudele ei meeldinud see üldse.

Kokkuvõtteks andis projekti jälginud akadeemiline nõukoda soovituse laiendada arvutipõhist statistikat teistesse koolidesse ja korrigeerida riiklikku õppekava.

Arvutipõhise statistika projekt läheb edasi, sest katse tõi esile parandamist vajavaid kohti. TÜ koolimatemaatika ja -informaatika keskus on alustanud uute õpetajate koolitamisega. Gruppi tulid tagasi ka mitmed katseprojektis osalenud, sest neile ja nende õpilastele meeldib väga uutmoodi matemaatikaõpe.

Aga miks matemaatika õppimist üldse muuta? Eesti kooliõpilaste matemaatikaoskused on ju maailma parimate hulgas ja matemaatika peabki olema traditsiooniline õppeaine, mis eelkõige õpetab kriitiliselt ja abstraktselt mõtlema. Aga noored ei saa aru, miks peab matemaatikat õppima, ning ülikoolid ja tööandjad pole rahul.

Tänapäeval on palju töökohti (finantsalal, logistikas, riigiametites), mille produktiivsust saaks suurendada, kui töötajad oskaksid paremini matemaatikat. Ülikoolid on sunnitud õpetamise taset alandama, sest üliõpilased ei tule matemaatikaga toime.

Ülle Kikas on füüsikadoktor, haridusekspert, MTÜ Teaduskera juhatuse liige.

Terje Hõim on Tartu Ülikooli matemaatika didaktika dotsent, koolimatemaatika ja -informaatika keskuse juhataja.

Näidistund «Kui õnnelikud on inimesed minu kodumaal?»

Tund algab küsimuse püstitamisega ning aruteluga, kas ja kuidas on võimalik inimeste õnnetunnet mõõta. Millised mõõdetavad suurused võiksid inimeste õnnelikkuse taset kirjeldada? Milliseid uuringuid on Eestis ja mujal maailmas tehtud?

Õpilased annavad kõigepealt kümnepunktiskaalal hinnangu Eesti inimeste õnnelikkusele ning seejärel laseb õpetaja mitmel õpilasel oma arvamust põhjendada.

Edasi püüavad õpilased Google’i otsingumootorit kasutades leida usaldusväärseid andmeid inimeste õnnelikkuse kohta eri riikides, k.a Eestis, kasutades selleks märksõnu. Samuti arutatakse, mis laadi mõõtmisi võetakse õnnelikkuse indeksi arvutamisel arvesse.

Arutelu keskne teema on andmete ja allikate usaldusväärsus. Õpitu kinnistamiseks peavad õpilased internetist leidma ühe usaldusväärse ja ühe ebausaldusväärse andmeallika ning oma otsust põhjendama.

Veebilehelt www.happyplanetindex.org laaditakse alla Exceli dokument andmetega 151 riigi õnnelikkuse indeksi kohta. Suure andmefailiga töötades tuleb otsustada, milline osa infost on vajalik tunni alguses püstitatud küsimusele vastamiseks.

Seejärel analüüsitakse andmeid nii graafiliselt kui ka arvuliselt. Kuigi diagrammid saadakse arvuti abil, peab õpilane mõistma, millist diagrammi millisele küsimusele vastamiseks vaja läheb ja kuidas diagrammilt infot lugeda.

Õppematerjalides on palju vaba vastusega küsimusi, et õpilane oma tegevust põhjendaks.

Õpetaja saab oma arvutisse klassi vastuste kokkuvõtted ning võib neid kasutada arutelude algatamiseks või hindamiseks. Õpetaja saab õpilaste vastuseid ja kokkuvõtteid suurel ekraanil näidata. Õpetajale on näha, kes on küsimusele juba vastanud, ning ta saab jooksvalt õpilaste tööd jälgida.

(See lähenemisviis ei ole individuaalõpe ega ka üksnes arvutis toimuv suhtlus, nagu sageli kiputakse arvutipõhisest õppest arvama. Õpetajal on juhiroll ning tund toimub nagu iga teine. Õpetaja alustab vestlusi, suunab õpilasi lugema, lahendama ülesandeid või omavahel arutama, ainult et paberi ja pliiatsi asemel töötatakse arvutiga ning boonusena saab õpetaja tänu arvutile õppimise kohta kohe tagasisidet.)

Kui Eesti õnneindeksi analüüs on üheskoos läbi tehtud, jagatakse õpilased paaridesse ning igale paarile antakse kaks maailma piirkonda, mille õnneindeksit õpitud statistiliste vahenditega iseseisvalt analüüsida ja võrrelda. Analüüsist tuleb kirjutada essee.

Mooduli lõppedes võtab õpetaja õpilastega teema kokku, rääkides usaldusväärsetest andmetest, probleemidest suurte andmehulkade käsitlemisel, tulpdiagrammi ja histogrammi tõlgendamisest ning jaotuste kirjeldamisest.

Matemaatiliselt õpitakse selles moodulis andmeid internetist alla laadima, tabelandmeid vaatlema, oma riigi positsiooni graafikult lugema ning seda matemaatiliste vahendite (keskväärtus, mediaan, vahemik, hälve, miinimum, maksimum) abil hindama.

Allikas: Tartu Ülikool